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矮小

井の中の蛙

PRML 演習問題2.3

WWWと付いてるので著者HPに解答が載ってはいるんですが式変形が急激すぎてビビる。詳細解をメモ。式変形の説明も。

2.262

 \begin{align}
\binom Nm + \binom {N}{m - 1} &= \frac{N!}{(N-m)!m!} + \frac{N!}{(N-m+1)!(m-1)!} \\
&= \frac{N!(N-m+1)}{(N-m+1)!m!} + \frac{N!m}{(N-m+1)!m!} \\
&= \frac{N!(N-m+1) + N!m}{(N-m+1)!m!} \\
&= \frac{N!(N-m+1+m)}{(N-m+1)!m!} \\
&= \frac{N!(N+1)}{(N-m+1)!m!} \\
&= \frac{(N+1)!}{(N+1-m)!m!} \\
&= \binom {N+1}m
\end{align}

 (N-m)! (N-m+1) を掛けると  (N-m+1)! (m-1)! m を掛けると  m! になる。これを使うと1行目から2行目のように通分できる。

2.263

 N = 1 のとき、 (1 + x)^1 = 1 + x \displaystyle \sum_{m=0}^1 \binom 1m x^m = \binom 10 x^0 + \binom 11 x^1 = 1 + x だから、(左辺)=(右辺)。
 N = k \in \mathbb{N} のとき、 \displaystyle (1 + x)^k = \sum_{m=0}^N \binom Nm x^m が正しいとして、 N = k + 1 のとき、

 \begin{align}
(1 + x)^{k + 1} &= (1 + x)(1 + x)^k \\
&= (1 + x)^k + x(1 + x)^k \\
&= \sum_{m=0}^k \binom km x^m + x \sum_{m=0}^k \binom km x^m \\
&= \sum_{m=0}^k \binom km x^m + \sum_{m=0}^k \binom km x^{m+1} \\
&= \sum_{m=0}^k \binom km x^m + \sum_{m=1}^{k+1} \binom k {m-1} x^m \\
&= \sum_{m=0}^0 \binom km x^m + \sum_{m=1}^k \binom km x^m + \sum_{m=1}^{k} \binom k {m-1} x^m + \sum_{m=k+1}^{k+1} \binom k {m-1} x^m \\
&= 1 + \sum_{m=1}^k \binom {k+1}m x^m + x^{k+1} \\
&= \sum_{m=0}^0 \binom {k+1}m x^m + \sum_{m=1}^k \binom {k+1}m x^m + \sum_{m=k+1}^{k+1} \binom {k+1}m x^m \\
&= \sum_{m=0}^{k+1} \binom {k+1}m x^m
\end{align}

  • 1行目:指数の法則。
  • 1→2行目:分配法則。
  • 4→5行目: \sum の添字を1個進めて中身を1個戻すと結局同値。これに気付かなくて秋葉原のスタバで1時間ぐらい粘って結局分からずに帰った。
  • 5→6行目:6行目の前2項は5行目の第1項を分解したもの。後2項は5行目の第2項を分解したもの。
  • 7→8行目:別にこう書いてもいいよね!!

2.264

 \begin{align}
\sum_{m=0}^N \binom Nm \mu^m (1 - \mu)^{N-m} &= \sum_{m=0}^N \binom Nm \mu^m \frac{(1 - \mu)^N}{(1 - \mu)^m} \\
&= (1 - \mu)^N \sum_{m=0}^N \binom Nm \mu^m \frac{1}{(1 - \mu)^m} \\
&= (1 - \mu)^N \sum_{m=0}^N \binom Nm \left( \frac{\mu}{1 - \mu} \right)^m \\
&= (1 - \mu)^N \left( 1 + \frac{\mu}{1 - \mu} \right)^N \\
&= (1 - \mu)^N \left( \frac{1-\mu}{1-\mu} + \frac{\mu}{1-\mu} \right)^N \\
&= (1 - \mu)^N \left( \frac{1}{1-\mu} \right)^N \\
&= \left( \frac{1-\mu}{1-\mu} \right)^N \\
&= 1^N = 1
\end{align}

分数で二項定理するっていうのが思い付かずに答えを見てしまった。辛い。理解できればそれでええんや……。模範解答では4行目からラストにワープしててファッ!? ってなった。これぐらい自分で展開しろということなのか。まあそれはそうか。