矮小

井の中の蛙

PRML 演習2.6 モードの導出

ベータ分布は  a, b \in \mathbb{N} - 1 の時凸関数っぽいから微分して0になる時でだいじょぶっしょウェイみたいな感じで.

 \begin{align}
\frac{\partial}{\partial \mu} \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} &=
\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \left\{ (a-1)\mu^{a-2}(1-\mu)^{b-1} + \mu^{a-1}(b-1)(1-\mu)^{b-2}(-1) \right\}\\
&= \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \left\{ (a-1)\mu^{a-2}(1-\mu)^{b-1} - \mu^{a-1}(b-1)(1-\mu)^{b-2} \right\} = 0
\end{align}

ということで,最後のなんちゃら = 0 のところを何とかして μ = なんちゃらにしたい.

 \begin{align}
\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \left\{ (a-1)\mu^{a-2}(1-\mu)^{b-1} - \mu^{a-1}(b-1)(1-\mu)^{b-2} \right\} &= 0\\
(a-1)\mu^{a-2}(1-\mu)^{b-1} - (b-1)\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-2} &= 0\\
\mu^{a-2}(1-\mu)^{b-2} \left\{ (a-1)(1-\mu) - (b-1)\mu \right\} &= 0\\
(a-1)(1-\mu) - (b-1)\mu &= 0\\
a -a\mu - 1 + \mu - b\mu + \mu &= 0\\
(-a-b+2)\mu+a-1 &= 0\\
(a+b-2)\mu &= a-1\\
\mu &= \frac{a-1}{a+b-2}
\end{align}

何とかなりました.